На севере Мордовии расположен Санаксарский монастырь, г. Темников
http://www.sanaksar.ru/
Там и Дивеево очень близко, но в соседней области.
Что еще попалось в интернете на эту тему:
Параскево-Вознесенский женский монастырь, с. Пайгарма (Пайгарма - русск., село в Рузаевском районе. Находится на речке Пайгарма)
Иоанно-Богословский Макаровский мужской монастырь города Саранска (г. Саранск, с. Макаровка, ул. Нагорная 35)
Сам я нигде там не был, но вот с детства помню название одного села - Ширингуши